Sophus Lie. 53 



X(i) = X,, X^^i) -= X.„ X^p = Aj Xi + X^ Z2 + A.3 Xg 

 lind finden so 



[X['^X^l] = X(/' 



[xy)x^'>] = [X, r, - K] x?' + Aar.^^^ 



[Xy) X^)] = (- 2 A, + A3 /?,) x/) + (A3 ^, - A,) xy) + x(/ . 

 Wählen wir insbesondere 



A3 y^ = A2 , A3 ß^ = 2 Aj J A3 ^rt = — 2 

 so erhalten wir den folgenden Satz: 



Satz 30. Unter den infinitesimalen Transformationen einer 

 dreigliedrigen Gruppe hann man imm,er drei von einander un- 

 abhängige 



ÔX = JTj ôty, ÔX = JTg ôt^, oæ = Xo tfifg 

 wählen, tu eiche 



[X, X,] = X, , [X, X3] = X3, [X3 XJ = - 2X, 

 geben. 



Um nun alle zweigliedrigen Untergruppen zu finden, suchen 

 wir in allgemeinster Weise zwei der dreigliedrigen Gruppe 

 zugehörigen infinitesimalen Transformationen 



ÔX = 2i nii Xi und 8x = JS' n\^ X^ , 

 die in der Beziehung 



[2i mx Xi , :S'k Wk Xk] = -2 wii Xi 

 stehen. Zur Bestimmung der Coefficienten m und w findet 

 man durch Entwickelung 



wij w., — ni.^ n^ = m, 

 (18) 2(mj W3 — m3 »ij) = m.^ 



*^-2 **3 ***3 ^-2 = ***3' 



und durch Elimination der n 



4 mj wig — m| = 0, 

 woraus, indem man mit p eine arbiträre Constante bezeichnet, 



mj = 1, m.^ = 2/3, ^3 = p^; 

 die n, die wir nicht berechnen brauchen, sind bestimmt 

 durch (18). 



Folglich besitzt die ausgezeichnete infinitesimale Trans- 

 formation unserer zweigliedrigen Untergruppe die Form 



