54 Theorie der Transformations-Gruppen. 



oæ = (Xj + 2p X^ + /32 JTs) dt 

 und also (Satz 17) bestimmt die Gleichung- 



J^' doc ^ px duc 



X, + 2p X, + p^ X; - "^^ '' "^^ J X, +2 p~X, +p2X3 

 die betreffende Untergruppe. 



Nun aber ist wegen der Gleichung [X^ X2] = X^ : 



X,^ X, J -^^ 



und ferner zeigen die Gleichungen 



■^2 -^3' — -^3 ^% = -^3 j ^1 ^3' — ^3 ^1' "^ 2 -ST^ 

 dass 



X^ 



und durch Einsetzung 



Setzt man diese Werthe von JT^ und X3 ein, findet man ohne 

 Schwierigkeit, dass 



Jdæ 1 1 J. p t 



"X, + 2pjr, + p'^x, ^-j r+ p f^ 



ist. Und die gesuchte zweigliedrige Gruppe nimmt, wenn man 

 der Kürze wegen 



Jx dx , Qx' dx 



setzt, die Gestalt 



^ i-«2 + p<^i + (/> + p^«i) y 



Giebt man hier p successiv alle mögliche Werthe, so erhält 

 man alle in der dreigliedrigen Gruppe enthaltenen zweiglie- 

 drigen Untergruppen. Durch passenden Wahl von p a y und a.^ 

 kann daher die letzte Gleichung eine jede Transformation der 

 dreigliedrigen Gruppe darstellen. Und wenn man p a^ und 

 «2 als gleichberechtigte Parameter auffasst, so ist unsere Glei- 



