Soplius Lie. i)5 



chuDg die Definitions-Gleichung- der dreigliedrigen Gruppe. 



Dies giebt 



Theorem 4. Durch Einführung zweckmässiger 



Variahein kann jede dreigliedrige Gruppe auf die 



Form 



a, -i- a^x 

 X' = — ^ — 



qehracht iverden. 



Erledigung des gestellten Problems. 



Indem man wie bei der dreigliedrigen Gruppe verfährt^ 

 beweist mau, 



1) dass jede viergliedrige Gruppe œ* = f{œ a, a.^ a^) vier 

 unabhängige infinitesimale Transformationen 



oæ = X^dt^ .... åæ = X^ôt^ (20). 

 enthält, 



2) dass die Differentialquotienten von / hinsichtlich der a 

 sich folgendermassen ausdrücken 



df 



da\ 



= A,X,f + B,X^f + aX^f +- DiX^/, 



wo die Grössen A B C D nur von den a abhängen. 



Die vier in dieser Weise erhaltenen Gleichungen müsse» 

 den bekannten Integrabilitäts-Bedingungen genügen. Dies 

 giebt sechs Gleichungen der Form 



{AiX^' + .. + D, XJ) {A^X^+.. + D^X^) 

 -{A^X,^ + .. + D^ XJ) (A,X,+.. + D, XJ 



+ iP-^) X, + ... -f (^_ 4^^) X, = 

 dttk dai ' ^ ^ dak da, ' * 



wo i und k zwei beliebige unter den Zahlen 1, 2, 3^ 4 be- 

 zeichnen. 



Da nun jede viergliedrige Gruppe dreigliedrige Unter- 

 gruppen enthältj können wir voraussetzen, dass die drei ersten 



