56 Theorie der Transtbrmations-Gruppen. 



infinitesimalen Transformationen (20) einer solchen Unter- 

 gruppe angehören, dass ferner 



[X, X,] = X., [X, X3] = X3, [X, X3] = 2X,. 

 Alsdann nehmen unsere 6 Bedingungs-Gleichungen die Form 

 (A, D^) [1, Xj] + {B,D^)lX^X^-] + {aD^)[X^ X3] ^:2L,X, 

 wo die Ls Funktionen der a sind. Und da die Determinante 

 (J.1 B^ O3 D^) von Null verschieden sein muss, indem sonst 

 eine Relation der Form 



:2^k(>i «2 a^ aj -^ = 



bestände, so müssen unsere Gleichungen, wie man durch eine 

 elementare üeberlegung einsieht, sich hinsichtlich der [Xi Xk} 

 auflösen lassen 



[.YiXJ - ^Cs-X«, 

 und die Coefficienten c, die sich zunächst als Funktionen der 

 a darbieten, müssen Constanten sein. 

 Wir haben also 



[X, X,-\ = X„ [X, X,^ = X3, [X, X3] = 2X, 



[X, xj = :s«k Xk , [X., xj = 2 yök Xk , [X3 xj = :§'n Xfc 



die drei ersten Gleichungen geben 



^^ ^ ^^^ J xT ' ^^ - ^^ l J .¥, J • 



Um die zurückstehenden Rechnungen zu vereinfachen, setzen 

 wir 



und suchen Y als Funktion von y vermöge der drei letzten 

 Gleichungen, welche die Gestalt 



y = «i + a^y + a.. y^ + a^Y 

 yY - Y= ß, + ß^y + ß-, y' + ß^ Y 

 yi Y' —2y Y- y^ + y.^y + y^y' + Y^Y 

 annehmen. Eliminirt man Y zwichen den beiden ersten Glei- 

 chungen, und löst die Resultante hinsichtlich F auf, was offenbar 

 möglich ist, so erkennt man, dass diese Grösse eine rationale 



