Sophus Lie. 57 



Funktion von y ist. Daraus folgt, dass a^ gleich Null sein 

 muss. Substituiren wir diesen Werth in die erste Gleichung, 

 und integriren sie darnach, kommt 



y = .4, + A.^y + .43 3/2 + A,y-^ 

 wo die A Constanten sind. Substituiren wir diesen Werth in 

 die beiden letzten Gleichungen, findet man, dass .4 4 gleich Null 

 ist, und dass folglich X^^ die Form bezitzt 



X,- X,{A,^ A.y ^ A.y-^) 

 und dass also 



X, = ^1 Xi + .4, X., + A, X3. 

 Diese Gleichung steht aber im Widerspruche mit unserer 

 Voraussetzung, dass die infinitesimalen Transformationen (20) 

 von einander unabhängig sind. Und da diese Voraussetzung- 

 erlaubt ist, wenn überhaupt viergliedrige Gruppen existiren, 

 schliessen wir: 



Satz 31. JEJs giebt keine viergliedrige Gruppe. 



Da nun jede fünfgliedrige Gruppe eine viergliedrige Unter- 

 gruppe enthalten muss, sehen wir, dass es auch keine fünfglied- 

 rige Gruppe existiren kann u. s. w. In dieser Weise können wir 

 also schliessen, dass es keine Transformations-Gruppe mit mehr 

 als drei Parametern giebt. Berücksichtigen wir endlich die 

 Ergebnisse der vorangehenden Paragraphen, können wir das 

 folgende Theorem aussprechen, welches alle Sätze dieser 

 Abhandlung resumirt. 



Theorem V. Eine jede Transformationsgruppe 

 einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigheit ist 

 aehnlich mit einer linearen Gruppe, und enthalt so- 

 mit ^höchstens drei Parameter. 



