Sophus Lie. 153 



mung, die mir allerdings gar keine principielle Schwierigkeiten 

 bietet, durchzuführen. Weitere Abhandlungen werden sodann 

 einerseits die allgemeine Theorie einer beliebig ausgedehnten 

 Mannigfaltigkeit behandeln, andererseits im Anschlüsse zu den 

 dargestellten Theorien neue Gesichtspunkte für die allgemeine 

 Theorie der Differentialgleichungen entwickeln. 



§ 1. 

 Allgemeine Begriife. 



Fasst man in den Gleichungen 



die Grössen a?/ . . . jjn als ursprüngliche Variabein, die Grössen 

 £Cj ... Xn als neue Variabein, und endlich «j . . a,- als Para- 

 meter auf, so definiren diese Gleichungen r-fach unendlich 

 viele Transformationen. Ich sage, dass eine solche Schaar 

 von Transformationen eine Gruppe bilden, wenn die Succession 

 zweier Transformationen der Schaar mit einer einzigen Trans- 

 formation derselben Schaar aequivalent ist; wenn also aus 

 den Gleichungen 



A'i' = fii^i . . . ^]) «1 . . . «,) 



folgt 



Xi = ji{^X^ . . . X'i, (?j . , . c'ij, 



wo die Grössen c^ ... c^. nur von den a und h abhängen. Diese 

 Definition lässt sich auch folgendermassen formuliren. 

 Def. Die n Gleichungen 



æ^' = fi(x^ . . .X,, a^ ... (?!■) = /i(a) 

 bestimmen eine Transformations-Gruppe, wenn für jedes i eine 

 Relation der Form 



/i (/l(«) • -/uC«) &i • • • hl) = fix^ ...Xn Ci . . . C',) 



stattfindet; dabei voraiisgesetzt, dass c,...Cr gewisse Funk- 

 tionen der a und b sind, die von der Zahl i unabhängig sind. 

 Führt man in die Gleichungen einer Transformations- 

 Gruppe 



