154 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Xi == fii^i "• OCn «1 . • . «;■) 



statt ^1 . . «r gewisse Funktionen dieser Grössen, etwa a^ . . . «' 

 als neue Parameter ein, so bestimmen die somit erhaltenen 

 Gleichungen 



oci = q>i{x^ . . . Xa a'i . . . a,) 

 eo ipso wiederum eine Transformations-Gruppe, die als mit 

 der ursprünglichen aequivalent aufgefasst werden soll. Hier- 

 bei kann es gelegentlich eintreffen, dass die neuen Gleichungen 

 eine geringere Anzahl Parameter als die ursprünglichen ent- 

 halten. Eine solche Erniedrigung in der Zahl der Parameter 

 ist möglich, wenn/, .../„, aufgefasst als Funktionen der a 

 gemeinsame Lösungen einer (oder mehrerer) linearen partiellen 

 Differential-Gleichung der Form 



sind; befriedigen in der That alle/ dieser Gleichung, so ist 

 es, wenn wir mit n-, ...«,-1 ein System Lösungen bezeichnen, 

 die nur von den a abhängen, immer möglich die / auf 

 die Form 



fi{x^ . . . œ,, «1 . . «,) = (Pi{xi . ..Xi,a^... «r-i) 

 zu bringen. Für jede Transformations-Gruppe giebt es offenbar 

 eine gewisse Minimums-Zahl der Parameter. Ist diese Zahl 

 gleich r, sägen wir aus Gründen, die sich später ergeben, dass 

 die Gruppe r-gliedrig ist. 



Definition. Eine Transformations-Gruppe lieisst r-gliedrig, 

 wenn sie oc^' distinkte Transformationen enthält. 



Bestimmen die Gleichungen 



eine Transformations-Gruppe, und führt man statt x^ .. ,Xa neue 

 Variabein 2/1 •• • 2/" ^^^i vermöge der Gleichungen 



so ist es unmittelbar evident, dass auch die Gleichungen 



©iCv, ' . . . lln) = / (©1 . . . 0„ rt, ... a,) 

 eine Transformations-Gruppe bestimmen; denn die neuen und 



