Sophus Lie. 155 



die alten Gleichungen bestimmen identisch dieselben Trans- 

 formationen zwischen den x. Zwei solche Gruppen sollen 

 uehnlich genannt werden. 



Def. Zwei r-gliedrige Transformations-Gruppen 

 Xi' = fi,{x^ . . .Xna^ . . .«,) 



heissen aehnlich, xvenn die eine Gruppe in die andere durch 

 Einführimg neuer Variahein umgeivandelt iverden kann. 



Ich kann nun das Haupt-Problem, dessen allgemeine 

 Erledigung das Ziel meiner Bestrebungen ist, formuliren: 



Problem. Bestimm alle r-gliedrige Gruppen von 

 Transformationen zwischen n Variahein. 



Es ist nach dem Vorangehenden einleuchtend, dass es 

 bei der Behandlung dieses Problems erlaubt und zugleich 

 zweckmässig ist, aehnliche Gruppen als identisch aufzufassen. 



§2. 



Infinitesimale Transformationen. 



Im Folgenden werden wir erkennen, dass jede r-gliedrige 

 Oruppe ooi— 1 infinitesimale Transformationen enthält, die für 

 die Gruppe charakteristisch sind. Die einzige oder jeden- 

 falls die einfachste Untersuchungs-Weise einer Gruppe besteht 

 darin, dass mau die infinitesimalen Transformationen der- 

 selben zu Untersuchungs-Gegenstand macht. Daher schicken 

 wir schon hier einige allgemeine Betrachtungen über infini- 

 tesimale Transformationen voraus. 



Eine Transformation heisst infinitesimal, wenn sie die 

 Form 



xx = Xi + ôt Xi{œ^ ... oca) 

 erhalten kann, und dabei 6t eine infinitesimale Grösse be- 

 zeichnet. Wir schreiben im Allgemeinen die letzten Glei- 

 chungen folgendermassen 



(1) öxi = dt . Xi{x^ . . . Xu). 



