Sophus Lie. 157 



ÄiB{F)) - B(AiF) = Ä'iB'iF)) — B'{A'{F)) 

 die im Folgenden eine wichtige Rolle spielt î). 



Ich setze nun voraus, dass eine gewisse Transformations- 

 Gruppe diese beiden inf. Transformationen enthält, deren 

 Symbole bez. ^i^ und ^Fsind. Alsdann soll unsere Gruppe 

 auch diejenige Transformation enthalten, die mit ihrer Su- 

 cession aequivalent ist; das heisst, sie enthält die infinitesi- 

 male Transformation 



dxi = (», J^\ -\- CJ.2 Y[, 

 in welcher «y, und cö^ infinitesimale Grössen bezeichnen, deren 

 Verhältniss eine arbiträre Constante ist. Also 



Satz 1. Gehören die beiden infinitesimalen Transforma- 

 tionen AF und BF einer geivissen Gruppe an, so ist dasselbe 

 der Fall mit den unendlich vielen infinitesimalen Transforma- 

 tionen, die durch das gemeinsame Symbol TiAF + fxBF dar- 

 gestellt werden, wenn A. und /x Constanten bezeichnen. 

 Wir sagen, dass r infinitesimale Transformationen 

 A^F .... A,F 

 von einander unabhängig sind, wenn keine lineare Relation 



X^ A^F + . . . + À, ArF = 

 mit Constanten Coefficienten stattfindet. 



Endlich können wir auch den folgenden Satz, dessen 

 Beweis in dem Vorangehenden liegt, aussprechen: 

 Satz 2. Sind 



A,F . . . ArF 

 r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 



^) In meiner Abhandlung: Allgemeine Theorie der partiellen Differential- 

 Gleichungen (Math. Annalen, Bd IX) habe ich einen anderen mehr um- 

 ständlichen Beweis dieses Satzes geliefert. Zu erinnern ist, wie man 

 durch Ausführung findet, dass 



, dY\ dX\ , dF 



A{B{F) - BiA{F)) = 2i 2u (Xu ^,,^ - Fk ^) ^^.^ 



ist. 



