158 Theorie der Transfonnations-Gruppen. 



einer Gruppe, so gehören die oo^-^ infinitesimalen Transforma- 

 tionen, die durch 



X^AiF + . . . + XrArF 

 repräsentirt werden, ivenn Aj...Ar Parameter sind, derselben 

 Gruppe an. 



§3. 

 Allgemeine Sätze über Transformations-Oruppen. 



Bestimmen die n Gleichungen 



X;' = /i(a;, ... .Vn bi ... b,) = /i (b) 

 eine r-gliedrige Gruppe, und besteht also eine Funktional- 

 Relation der Form 



(3) fiifiib) . . .Mb) a,... a,) = fi^x^ ...x,,<p^. . . cp,.) 

 wo 



(p^ = q)k(ay . . .ar bj . . . &,) 

 ist, so darf keine Relation zwischen den q) und b stattfinden. 

 Bestände nämlich eine solche, etwa 



Cpr = TF(&i . . . &r (Pi .. • <Pi-\) 



so würde (3) die Form 



fi(fi{b)-"Mb)a^ ...a,) = Fi(x^ ...x^b, ..b,<p^ ...q>r-{) 

 annehmen, woraus durch Differentation hinsichtlich a^ 



dfijf^ ..-/n «, ..ar) ^ '-^-' dFi d^ 

 da^ s = i dcps da\^ 



und durch Elimination der (r — 1) Differential-Quotienten von 

 Fi hinsichtlich q)^ . . .q}^-.i käme endlich eine lineare Glei- 

 chung der Form 



^ , / ^ dfiifi . . fn a^ ... a,) ^ 



oder wenn man will: 



^ da\i 



wobei zu bemerken wäre, dass die Funktionen î/jk von der Zahl 

 i völlig unabhängig waren. Da aber unsere Gruppe nach 

 Voraussetzung r-gliedrig ist, so dürfen die Grössen 



