Sophus Lie. 159 



nicht gemeinsame Lösungen einer solchen linearen partiellen 

 Differential-Gleichung sein, und also ist hiermit bewiesen, dass 

 eine Relation zwischen den (p und b nicht stattfinden kann. 

 Hiermit ist eo ipso erwiesen, dass auch nicht mehrere solche 

 Relationen stattfinden können. Also 

 Satzo. Bestimmen die Gleichungen 



Xi = /iGr, . . . J7„ai . . . rtr) 

 eine r-gliedrige Transformations- Gruppe und ist also die Suc- 

 cession der beiden Transformationen 



X,' = /i(a?i . . .Æu J-i . . . &,) 

 X," = /i(^i' . . ..-Kn'rti . . . ar) 



aequivalent mit der Transformation 



xvo die qp nur von den a und b abhängen, so hann man immer 

 die a derart ivählen, dass die q) gleich beliebig gegebenen Funk- 

 tionen der b werden. 



Insbesondere können wir 



setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a 

 bez. mit a^ . . . . «î, so kommt 



/i(/i(6) . . ./,(&) a« . . . a%) = f{æ, ...x,b,... h) 

 und also auch 



/i (^ 1 • • • ■^'n a f . . . a r) = Xi , 



wo a^ . . . a? offenbar von den b unabhängig sind. Folglich 

 bestimmen die Gleichungen 



Xi = /i [X y • . . Xu a ^ ...Ær) 



eine identische Transformation. Dies giebt 



Satz 4. Jede Transformations-Gruppe enthält eine iden- 

 tische Transformation. 

 Ferner können wir 



setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a, die 

 von den b abhängen, bez. mit ß ^ . . . ßx, so kommt 



