Sophus Lie. 161 



für allgemeine Werthe der b oder was auf dasselbe hinaus- 

 kommt, für allgemeine Werthe der ß auf die Form 



/i(/x(&) • . ./n w ^1 • • . A) + ^Cü,, Fik 



gebracht werden, wo die Grössen 



'^^ l da^ J ias = /3s) 



nach der Substitution a^ = A allein von den æ und & abhän- 

 gen. In dieser Weise ergiebt sich, dass unsere Gruppe die 

 infinitesimalen Transformationen 



ôxi = ^k cök rik (4) 



enthält. Wir werden zeigen, dass die letzte Gleichung je 

 nach den relativen Werthen der infinitesimalen Grössen 

 cöi...a7r ooi~i infinitesimale Transformationen darstellt. 

 Existirte in der That für jedes i eine Relation der Form 



:SktAk(&i...&r) Fik=0, 



wo die Funktionen ^k von der Zahl i unabhängig waren, so 

 könnte man sie, indem man /i(&) . . ./n(&) ßi . . . ßv als unab- 

 hängige Variabein anstatt x^ . . .oon h^ . . .h einführte, auf die 

 Form 



>- w (ß ß^ dMfAb)-..fn{b)ß, ...ß,) _ 



:^k w^iß, .... A.) j^^ 



bringen, woraus wieder 



-2k tükC«! • • • ^i) — j = ^ 



folgen würde. 



Da nun aber unsere Gruppe nach Voraussetzung r-gliedrig 

 ist, so können die /i nicht gemeinsame Lösungen einer solchen 

 linearen partiellen Differential-Gleichung sein, und folglich 

 sind die oben gefundenen ooi^-^ infinitesimalen Transforma- 

 tionen unserer Gruppe sämmtlich distinkt. Dies giebt 



Satz 7. Jede r-gliedrige Gruppe enthält csd^ — ^ infinitesi- 

 male Transformationen. 



') Wie früher schreiben wir fk{b) statt /k(a;i . . . a;a bi... bn). 



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