162 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Jetzt führe ich zuerst eine endliche Transformation 



der Gruppe aus, sodann eine beliebige unter den zugehörigen 

 infinitesimalen, etwa die folgende 



§Xi = Xi(ü?i . . . Xu) ät 

 aus. Die mit dieser Succession aequivalente Transformation 



Xi" = fi(x^. ..Xnffli^ .. . (tr) + Xi (Xj^' . . . Xn) Ôt 



gehört, wissen wir, der Gruppe an und kann daher die Form 



Xi" = /i(^i . . . Xn ai+ da^ . . . a^ + dar) 

 erhalten. Und da / nur für Ausnahms-Werthe der a discon- 

 tinuirlich sein kann, folgt 



•7/ 



Xi{x,' . . . Xn) ät = .:^k -r-^ da^, 



und durch Division mit ôt, indem man erinnert, dass die 



Differential-Quotienten 



dax 

 ~dt 



als unabhängig von ^i, Funktionen der a sind, kommt eine 



Gleichung der Form 



XAx' . . . x^) = :2k i^K{a^ . ..ttr) —^ 



uUh 



oder durch Einführung der fi statt der x\ 



womit folgender Satz erwiesen ist. 

 Satz 8. Enthält die Gruppe 



O0Î = /i(^i . . . ^n «1 . . . «r) 



die infinitesimale Transformation ôXi = JTi (a?! . . . Xn) St, so 

 bestehen Gleichlingen der Form 



wo die Funktionen ipn von der Zahl i %inabhängig sind. 



