Sophus Lie. 163 



§ 4. 



Nothwendige Beziehungen zwischen den infinitesimalen 



Transformationen einer Gruppe. 



Seien 



ÔXi = Xu Cö,, ÔXi •= X^i &72 . . . ÔXi = Xki CÛI 



r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 

 einer r-gliedrigen Gruppe. Wir werden gewisse wichtige 

 Kelationen, die zwischen den JT^i stattfinden, entwickeln. 



Anwenden wir successiv zwei unter diesen infinitesimalen 

 Transformationen, so soll diese Succession mit einer einzigen 

 und offenbar infinitesimalen Transformation der Gruppe aequi- 

 valent sein. Und zwar muss diese Aequivalenz noch bestehen, 

 wenn wir infinitesimale Grössen zweiter Ordnung berück- 

 sichtigen. Indem wir diese Forderung für zwei beliebige 

 unter den obenstehenden infinitesimalen Transformationen^ 

 etwa für die beiden ersten ausdrücken, finden wir die be- 

 sprochenen Eelationen. 



Berücksichtigen wir infinitesimale Grössen zweiter Ord- 

 nung, so nehmen die beiden ersten inf. Transformationen bez. 

 die Form an 



Xi' = ÛSi + cû^ Xu + -^^k -^ Xu, 



und 



z dxk 



Anwenden wir nun successiv diese beiden Transformationen, 

 so ist diese Succession eo ipso aequivalent mit der folgenden 

 Transformation 



a!i" = ;^i + û7i Xu + lool^y, ^ JTi 



dx 



'-Ik 



dX2i 



+ 00^ [X2i + û?i ^k -—■ Xik] 



+ ^ Û3| ^k -j—^ Xik. 



dX2i 

 dxb. 



