Sophus Lie. 165 



Constanten sein müssen. Zu bemerken ist dabei, dass sie 

 von der Zahl i unabhängig sind. 



Die n gefundenen Bedingungs-Gleichungen lassen sich in 

 eine einzige Gleichung vereinigen; setzen wir nehmlich 



. .^ dF clF clF 



so dass A^ (F) und ^2 -^ in dem früher definirten Sinne Sym- 

 bole unserer beiden infinitesimalen Transformationen sind, so 

 löst die Gleichung 



A, {A^(F]) - A^{A,(F)) = c, A,iF) + . . . + c,A,{F) 

 sich, wie man durch Ausführung findet, in die n obenstehenden 

 Gleichungen auf. 



Berücksichtigen wir, dass ^^i^und A2F zwei beliebig 

 gewählte infinitesimale Transformationen unserer Gruppe sind, 

 so können wir den folgenden wichtigen Satz aussprechen: 



Theorem 1. Bezeichnen 



A^F, A^F... A,F 

 r. unabhängige infinitesimale Transformationen 

 einer r-gliedrigen Gruppe, so drückt jedes 



A,{A^{F)) - A^{A,{F)) 

 sich als Summe der Ai F multiplicirt mit Con- 

 stanten aus. 



In einem folgenden Paragraphe beweisen wir, dass diese 

 nothwendigen Relationen auch hinreichend sind, das heisst, 

 dass r unabhängige infinitesimale Transformationen, welche 

 diese Relationen erfüllen, immer einer »'-gliedrigen Gruppe, 

 und zwar einer ganz bestimmten angehören. 



