166 Theorie der Transformations-Gruppen. 



§ 5. 

 Die eingliedrige Gruppe. 



Es seien 



die Gleichungen einer eingliedrigen Gruppe, und 



ôxi = Xi(Xi . . . u) àt 

 die der Gruppe zugehörige (Satz 7) infinitesimale Transforma- 

 tion. Alsdann ist nach den Ergebnissen des eben citirten 

 Paragraphs 



wo t, als von den æ unabhängig, eine gewisse Funktion von 

 a sein muss 



t = t(a). 

 Integriren wir nun das simultane System 



dfi _ _ df^ _ 



Xi(/,.../.) •••• X.(A...A) 

 wo die / als Funktionen von t aufzufassen sind, so finden wir 

 n Integral-Gleichungen der Form 



•^iC/i •••/n*) = Const 

 Hier machen wir die Substitution 



t = 

 und finden so, indem wir 



^(«o) = 0, fi{x^ ... Xu «o) = /i% 

 setzen, 



0.afl"-fnt) = ßi (/?... /«O), 



und durch Auflösung hinsichtlich der /i 



/i = TFt(/?.../SO, ■ 

 oder 



^i' = W,{fl...fU)- 

 Es lässt sich nun zeigen, dass 



cci = TFi(a;, ...x^a) 

 eine Form unserer eingliedrigen Gruppe ist. Um dies nach- 

 zuweisen, bemerken wir, dass die Gleichungen 



