Sophus Lie. 167 



y i = Jii^iC ^ . . . Xa CLq) 



nach dem Satze 6 durch Auflösung 



^i -Mfl.-.Jloo) 

 geben, wo œ eine allerdings unbekannte Constante ist. Und 

 aus der letzten Gleichung zusammen mit 



folgt nach der Definition des Begriffs Trausformations-Gruppe 



wo A eine gewisse Funktion von a bezeichnet. Halten wir 

 diesen Ausdruck mit dem früher gefundenen 



zusammen, folgt 



und also im Allgemeinen 



fi(æi . . . oojx A{a)) = Wi(æi . . . Xa t{a)) 

 oder was auf dasselbe hinauskommt 



/i(a;, . . .Xnà) = Wi(x-^^ . . . Xn tpia)). 

 Hiermit ist aber nachgewiesen, dass 



æi = Wi(x^ . . . Xn a) 

 eine Form unserer Gruppe x-,' = /i(a7i ... ocaO) ist. Offenbar 

 ist auch 



i2i(a;,' , . .Xn t) = £li{x^ . . , oo^O) 

 eine Form derselben Gruppe. Dies giebt 



Satz 9. Gehört die infinitesimale Transformation 



dXi = ^i{Xy . . . Xn) ôt 



einer eingliedrigen Gruppe an, und sind 



Az> I ■ • • • A^xi 



ein System Integrale des simultanen Systems 



et 00 -^ CtOOix j 



so bilden die n Gleichungen 



£li{xi' . . . £C,/f) = X2(.r, . . . .r„0) 

 eine Form unserer Gruppe. 



