168 Theorie der Transformations-Gruppen. 



§ 6. 



Eine Gruppe ist bestimmt durch ihre infinitesimale 

 Transformationen. 



Seien jetzt vorgelegt r unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen A^F A^F. 



^■'^^^''d^,'' '■''- ^^-^fc 

 einer r-gliedrigen Gruppe 



^i = /i(a?i . . . a^n «1 . . • «!•)• 



Ich werde zeigen, dass hiermit die Gruppe völlig be- 

 stimmt ist. 



Dieser Satz folgt als Corollar aus dem Satze, dass jede 

 eingliedrige Gruppe, deren infinitesimale Transformation der 

 r-gliedrigen Gruppe angehört, eine Untergruppe derselben ist. 

 Dies soll zunächst erwiesen werden. 



Es sei 



eine beliebige infinitesimale Transformation unserer Gruppe; 

 alsdann ist es möglich (§ 3) solche infinitesimale Grössen 

 d«i . . . da,: zu wählen, dass 



^iifx . . ./n) dt = :S^^ da^ = dfi 



ist. Hierbei sind die da^ als unabhängig von den ^, Funk- 

 tionen von den a und dt, das heisst, es besteht ein simultanes 

 System 



da^ _ dat _ j. 



dessen Integral-Gleichungen 



ç>i(«i . . . öSr t) = Const., 

 die a als Funktionen von t bestimmen. 



Integriren wir andererseits das simultane System 



^,(A.../.) ••• jr„(A.../„) 



