Sophus Lie 169 



wobei die / als Funktionen von t aufzufassen sind, so finden 

 wir n Integral-Gleichungen der Form 



jQi(/i . . ./n = Const., 

 und wenn wir i = machen, und die entsprechenden Werthe 

 der a mit aj . . . «r bezeichnen, und endlich 



setzen, kommen die Gleichungen 



n,{f,...f.t) = /2i(/î.../so) 



die, aufgelöst hinsichtlich der /, geben 



/i = W,{f\ fU) 



oder 



X,' = w,{n....fit). 



Wir bemerken nun (Satz 6) dass die Gleichungen 



ti\^\ ' ' • "^n et i • • • dr) ~ y i 



aufgelöst hinsichtlich der Xi in die folgenden übergehen 



wo iVi . . . lUr gewisse, übrigens unbekannte Constanten sind. 

 Und aus den letzten Gleichungen zusammen mit 



folgen nach unserer Definition des Begriffs Transformations- 

 Gruppe 



wo die A gewisse Funktionen von den a und w sind. Halten 

 wir diese Ausdrücke mit den früher gefundenen 



æ,' = W,{f\....nt) 

 zusammen, folgt 



W,{fl'"fU)-Mn...flA,..,Ar) 

 und also im Allgemeinen 



w 1 \X j . . . Xto. t) '^ Ji\^] ... Xu ^ j . . . ^j. j , 



Diese Gleichung sagt aber eben, dass die eingliedrige 

 Gruppe 



Xi' = Wi{x^ . . .Xnt) 



eine Untergruppe unserer »--gliedrigen Gruppe ist. Also 



