170 Theorie der Transforraations-Gruppen. 



Satz 10. Eine r-gliedrige Gruppe umfasst eine jede ein- 

 gliedrige Gruppe, deren infinitesimale Transformation der r- 

 gliedrigen Gruppe angehört. 



Seien jetzt 



r unabhängige infinitesimale Transformationen. Wird das 

 simultane System 



^^^ = dt 



^i Ai -iik 

 mit den Parametern Aj . . Ar integrirt durch die n Gleichungen 



Xk = /k(Ai«. . .Ar«), 



so behaupte ich, dass nicht alle /k eine Relation der Form 



^i^i(A,<...ArO ^ -0 



aAk 

 befriedigen können. 



Difierentiirt man nämlich die Gleichung 



J^k dojk _ _ . _ P^k dXk 

 ^iAiÄlk J U 



hinsichtlich Ap, und bemerkt dabei, dass Ap sowohl unter dem 

 Integral-Zeichen wie im oberen Grenzen des Integrals vor- 

 kommt, so findet man 



1 dæ^ P^k dxk dU 

 TTdJp^J m dTp' 

 Wäre nun 



so käme 



2ß^(i{}^^t...X,t) |{- » 0, 



Î 



•^k dXk ^ , ,, . ^ .. du „ 

 ^^pt/.p(A,i...A.O^ = 0, 



woraus 



2p7Pp{X^t...Xrt) ^=0 (5) 



folgen würde. Nun aber ist 



TJ = ^i Ai Xik 

 und 



