Sophus Lie. 171 



dXp ' dXs dXp' 



2p^p (X^t . . .)Xpy, + 2,2iX, j^ 2prPp(X^t...) ^^ 



durch Einsetzung in (5) folgt 



ip 

 und da nach unserer Voraussetzung 



dx 



2p lj)p{X^t... Ar t) -^ = 



ist, käme 



2p Ipp (Aj t . . . Xrt) -Xpk = Oj 



was mit unserer Annahme, dass die vorgelegten r inf. Trans- 

 formationen unabhängig sind, im Widerspruche steht. 



Seien nun ^, i^. , . Ar F 



A -m x^ ^-^ "V ^-^ 



AiJb = JLi\ -z + . . . + Ain -j 



r unabhängige infinitesimale Transformationen einer r-glie- 

 drigen Gruppe. Alsdann bestimmen die Gleichungen. 



^i Ai ^ik 



in denen A^ ... Ar Parameter sind, die allgemeine infinitesi- 

 male Transformation der Gruppe. Die entsprechenden Integral- 

 Gleichungen 



^k = /k («^1 . ..xlX^t . . .Xrt) 

 bestimmen nach den im Anfange dieses Paragraphen gege- 

 benen Entwickelungen, die eingliedrige Untergruppe, die der 

 betreffenden infinitesimalen Transformation (6) entspricht. 

 Lässtman die A variieren, so erhält man successiv oo'-i ein- 

 gliedrige Untergruppen, und also im allen oo^' Transforma- 

 tionen, die der Gruppe angehören. Und da diese co» Trans- 

 formationen, wie soeben gezeigt, sämmtlich verschieden sind, 

 so bildet ihr Inbegriff eben die r-gliedrige Transformations- 

 Gruppe 



Theorem 2. Jede Transformation einer r-glie- 

 drigen Gruppe gehört einer eingliedrigen Unter- 



