172^ Theorie der Transformations-Gruppen. 



gruppe an. Und da die eingliedrigen Untergruppen 

 durch die infinitesimalen Transformationen der r- 

 gliedrigen Gruppe destimmt sind, folgt, dass jede 

 r-gliedrige Gruppe durch ihre infinitesimale Trans- 

 formationen völlig bestimmt ist. 



§ 7. 



Infinitesimale Transformationen, die den aufgestellten 



Relationen genügen, erzeugen immer eine Gruppe. 



In einem früheren Paragraphen sahen wir, dass r unab- 

 hängige infinitesimale Transformationen einer y-gliedrigen 

 Gruppe 



immer Relationen der Form 



MÄ^iF)) - Ä^iMF)) = :SpCi^pÄpF 



mit Constanten Coefficienten erfüllen. Jetzt soll gezeigt werden, 

 dass umgekehrt r unabhängige inf. Transformationen, die 

 paarweise in einer solchen Beziehung stehen, immer einer r- 

 gliedrigen Gruppe angehören. 



Zum Beweis führen wir statt der ursprünglichen Variabein 

 Xy...a)a neue Variabein ?/,... 2/n ein, die derart gewählt 

 sind, dass 



A-3/i ■= ... ^r2/n-l = 0, J.r2/n = 1- 



Sind 



A^'F..,.Är'F 



die Symbole unserer inf. Trausformatiouen in diesen neuen 

 Variabein, so ist 



A^'F = A^F 

 Ai'(Ay:'iF)) - A^'iAaF)) = Ai{.MF)) - A^iA^F)). 

 Ferner ist offenbar 



dyn 

 und also nehmen die r — 1 Bedingungs-Gleichungen 



A^'(A,'{F)) - Ar'A^'iF)) = c^iA^'F+ ... + d^r A^' F, 

 wenn wir 



