176 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Indem wir nun zu den ursprünglichen Variabein æ^, . .Xu 

 zurückkehren, können wir den folgenden Satz aussprechen: 



Satz 11. Sind A^F J.,— i F, Ay F unabhängige infini- 

 tesimale Transformationen, und steht dabei Ar F zu den übrig en 

 Transformationen in solcher Beziehung, dass r — 1 Gleichungen 

 der Form, 



AMÅF)) - A^{AAF)) = 2ß o^p Apf 

 stattfinden, so ist die Succession einer beliebigen endlichen Trans- 

 formation der von Ar F erzeugten eingliedrigen Gruppe mit einer 

 infinitesimalen Transformation der Form 2X^A\^F aequivalent 

 mit einer einzigen Transformation einer eingliedrigen Gruppe, 

 deren inf. Transformation die allgemeine Form 



ArF + Pi -F + ... + P.-i Ar-i F 



besitzt. 



Allerdings ist unser Beweis für diesen Satz nur unter 

 den beiden beschränckenden Voraussetzungen gültig, dass die 

 Determinante (c^ , c^a • • • Cr-i,r-i) von Null verschieden ist, 

 dass ferner die oben besprochene algebraische Gleichung vom 

 {r — 1)^^" Grade j — 1 distinkte Wurzel besitzt. Dass der Satz 

 auch in allen übrigen Fällen gültig bleibt, liesse sich durch 

 einen Grenz-Uebergang einsehen. Oder auch könnte man den 

 Beweis für die verschiedenen Fälle direkt durchführen, was 

 keine principielle Schwierigkeiten bietet. Da indess die Con- 

 sequenzen dieses Satzes weder in dieser Abhandlung noch bei 

 meiner Bestimmung aller Transformations-Gruppen einer zwei- 

 fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit wesentlich benutzt werden, 

 kann ich es zu einer anderen Gelegenheit verschieben, den 

 Beweis meines Satzes vollständig durchzuführen. 



Sind nun 



Xi = q>i{x^ . . . Xn X^t. . . Xrt) 



die Gleichungen der eingliedrigen Gruppe, deren inf. Trans- 

 formationen die allgemeine Form 



XlA^F+...+ XrArF 



