Sophus Lie. 177 



besitzt, wobei wir fortwährend voraussetzen, dass jedes 

 Äi(Äk(F)) — Ä^(Äi(F)) sieb als Summe der Äi,F, multi- 

 plicirt mit Constanten ausdrückt, so ist es leicht zu erkennen, 

 dass die Succession zweier beliebigen Transformationen der 

 Form 



und 



Xi" = q>i{a!i . . .cüabj^ . . . br) 



mit einer einzigen Transformation derselben Schaar aequiva- 

 lent ist. Die Richtigkeit dieser Behauptung ist ja nehmlich 

 soeben für den speciellen Fall nachgewiesen, dass die Trans- 

 formation Xi" •= ç>i(Xy br) infinitesimal ist. Da nun 



aber nach unseren früheren Entwickelungen die Transformation 

 Xi" = ^i(^i . . . &r) durch eine unendlich-malige Wiederholung 

 der infinitesimalen Transformation 



h^A^F+... + brArF 



ersetzt werden kann, so ist hiermit die allgemeine Richtig- 

 keit meiner Behauptung nachgewiesen. Und also können wir 

 den folgenden Satz aussprechen: 



Theorem 3. Sind A^F . . A^F r unabhängige infinitesimale 

 Transformationen, die in solcher gegenseitigen Beziehung stehen, 

 dass sich jedes Ai ( J.k {F) ) — A^ (Ai (F) ) als Summe der J.^ jP, 

 multiplicirt m.it Constanten ausdrückt, und bestimmen ferner die 

 Gleichungen 



Xi = fi{æ^ . . .XnX^t. .. Xrt) 



die eingliedrige Gruppe, deren infinitesimale Transformation die 

 allgemeine Form '2^ Àk A\^ F besitzt, so bestimmen dieselben 

 Gleichungen nachdem nur die Grössen X^t durch «k ersetzt 

 sind : 



Xi' - fi{x^ . .. Xna^ . . .a,) 



eine r-gliedrige Gruppe, an der die infinitesimalen Transfor- 

 mationen A)s,F angehören. 



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