178 Theorie der Transformations-Gruppen. 



§8. 

 Allgemeine Sätze ütoer Untergruppen. 



Wir haben gefunden, dass zwischen r unabhängige infini- 

 tesimalen Transformationen A^F . . . A^F einer r-gliedrigen 

 Gruppe charakteristische Beziehungen der Form 



Ai{A^{F)) - A^{A,{F)) = 2p c^pApF 

 stattfinden. Es ist nun leicht nachzuweisen, dass die Con- 

 stanten c durch eine grosse Anzahl Bedingungs-Gleichungen 

 verbunden sind. Setzt man nämlich wie gewöhnlich 



{AU^.) = A,{A^{F)) - A^{A,{F)) 

 so besteht zwischen drei beliebigen AF die bekannte Jaco- 

 bische Identität 



([AU^)As) + iiA^As)Ai) + {(A,Ai)A^) = 0. 

 Führt man in sie zuerst einmal die Werthe 



{AfxAv) = ^pCfxvpAp 

 ein, und anwendet sodann dieselben Relationen noch einmal, 

 so kommt schliesslich eine Relation der Form 



in der die Ck Funktionen der Q.-,.ivp sind. Und da die A^F 

 unabhängige infinitesimale Transformationen sind, folgt 



0, = 0, 0.3 = . . . .■ a = 



oder entwickelt 



wo die Zahlen ik s 6 vier beliebige unter den Zahlen 1 2 ... r 

 bezeichnen. 



Wir sagen, dass eine p-gliedrige Gruppe Untergruppe einer 

 r-gliedrigen Transformations-Gruppe ist, wenn die Transfor- 

 mationen der ersten sämmtlich der letzten angehören. 



Es ist algebraisch möglich, alle p-gliedrigen Untergruppen 

 der allgemeinsten r-gliedrigen Gruppe zu bestimmen. Seien 

 in der That 



