Sophus Lie. 179 



A^F.... A, F 

 r unabhängige inf. Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe, 

 so dass 



(.-o-i Ji.\i) = -^^ Cik8 -<4-s 



ist, wobei die Cius den soeben aufgestellten Relationen erfüllen. 

 Setzen wir nun 



ByF = ^11 A^ + ... + AirJ-r 

 B^^F ^ ^^2 1 ^1 + • • • + Aär^r 



BpF = Xp\ A^ + . . . + Xpi-Ax 

 so ist es einleuchtend, dass jedes {B^ B-^ sich als Summe der 

 J.k multiplicirt mit Constanten ausdrückt. Verlangen wir 

 dagegen, dass alle (BiBi^) sich als Summen der B^, multi- 

 plicirt mit Constanten ausdrücken, so erkennt man, dass hierzu 

 das Bestehen mehrerer algebraischen Relationen zwischen den 

 Constanten À erforder lichist. Indem man diese Relationen in 

 allgemeinster Weise befriedigt, erhält man eo ipso in allge- 

 meinster Weise p inf. Transformationen der ursprünglichen 

 Gruppe, die eine Gruppe erzeugen, welche selbstverständ- 

 licherweise eine Untergruppe ist. 



Früher haben wir schon gezeigt, dass jede r-gliedrige 

 Gruppe OD""-! eingliedrige Untergruppen enthält. In späteren 

 Paragraphen werden wir mehrere aehnliche Sätze beweisen 

 so z. B. dass jede inf. Transformation einer Gruppe an einer 

 zweigliedrigen Untergruppe angehört. 



Bei dieser Gelegenheit beschräncke ich mich darauf, 

 einen allgemeinen Satz aufzustellen, aus dem hervorgeht, dass 

 jede r-gliedrige Gruppe zwischen n Variabein, wenn r grösser 

 als n ist, Untergruppen besitzt. 



Seien 



^i' = /i («1 . , , a^n «j . . . «u . . . «r) 

 die Gleichungen einer Gruppe. Ich unterwerfe die Coeffi- 

 cienten a den Bedingungen 



12* 



