1^B2 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Bei der Entwickeluug- dieser Theorie setze ich als be- 

 kannt voraus meine früheren Untersuchungen über Bertih- 

 rungs-Transformationen, die ich in der Abhandlung Begrün- 

 dung einer Invarianten-Theorie der Bertihrungs-Transforma- 

 tionen (Math. Annalen Bd VIII) in Zusammenhange dar- 

 gestellt habe. 



Aus der citirten Arbeit entlehne ich zunächst den Satz, 

 dass jede infinitesimale Bertihrungs-Transformation sich durch 

 Gleichungen der Form 



OX]t = 1 Ot , Oük = — 1 — ot 



ausdrückt ; hier bezeichnet H eine ganz beliebige Funktion der 

 X und 2^, die hinsichtlich der p homogen von erster Ordnung 

 ist. Repräsentiren wir nun wie früher unsere inf. Trans- 

 formation durch eine einzige Funktion Ä F, so wird 



j -r-t -»r. / dS dF ds dF . .._-_,, 



J.i^= J^k (v :i j— :j— ) = (BF) 



dpk dXk dXii dp^ 



das allgemeine Symbol einer infinitesimalen Bertihrungs- 

 Transformation. 



Es stellt sich nun die beiden wichtigen Fragen, unter 

 welchen Bedingungen r inf. Bertihrungs-Transformationen 



A,F...Ä,F, wo {A^F) = {m,F) 



unabhängig sind, und wenn sie eine r-gliedrige Gruppe 

 erzeugen. 



Unabhängig sind sie, wenn keine lineare Relation mit 

 Constanten Coefficienten 



CiAiF + ... + CrArF = 



oder 



c,(H^F) + ... + Cr{H,F) = 

 oder endlich 



(c,Æf, + ... + CrHy,F) = 



identisch stattfindet. Dies giebt 



Satz 12. Die infinitesimalen Berührunc/s- Transformationen, 



