Sophus Lie. 183 



(HiF) . . . (HrF) sind xmahhängig, wenn keine lineare Relation 

 der Farm 



CyHy + ... + c,Hr = 

 mit Constanten Coefficienten stattfindet. 



Sollen andererseits unsere r inf. Transformationen eine 

 r-gliedrige Gruppe erzeugen, so ist, wissen wir, dazu notli- 

 wendig und hinreichend, dass die Ay,F paarweise Relationen 

 der Form 



A{A^{Fy) — A^{A{F)) = ^sCiks^sF 



erfüllen. Und da in unserem Falle 



A,F - {H,F), A^F - (H^F) 

 und 



AiiMF)) - A^iAdF)) = ({H,Hk)F) 



ist, erhält man die Bedingungs-Gleichungen 



i(HiH^)F) = 2sCi^siS,F), 

 die sich in die 2n folgenden zerlegen 



djHiS ^) _ ^ dHs 



d{H,H^) ^ dH,, 



dpax dpux 



nun aber kommt durch Integration 



(EiH^) = JSsCiUs^Hs + Const., 

 welche Gleichung mit den 2n vorangehenden aequivalent ist. 

 Und da sowohl (fiifik) wie Hs homogen von erster Ordnung 

 hinsichtlich der p ist, muss die Constante gleich Null sein. 



Nennen wir nun kurzweg die Transformation, deren 

 Symbol im alten Sinne (HF) ist, c<die Transformation H», so 

 können wir den folgenden Satz aussprechen. 



Theorem 4. Sollen r unabhängige infinitesimale 

 Berührungs-Transfor'mationen H^...Hr: eine r-glie- 

 drige Gruppe erzeugen, so ist dazu nothivendig und 

 hinreichend, dass jedes (Hi Hk) sich als Summe der 

 J3k multiplicirt mit Constanten ausdrückt. 



