184 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Ich bezeichne diese Gruppe häufig kurzweg als die 

 Gruppe H^ . . . H^. 



§ 10. 



Ein Fundamental-Satz über eine Classe 



Transformations-Gruppen. 



In meiner früher citirten Abhandlung über Berührungs- 

 Transformationen brauchte ich das Wort Gruppe in einem an- 

 deren Sinne als hier. Ich sagte, dass r unabhängige Funk- 

 tionen tti . . . Ur von x^ . . .Xn p-i . . .pn eine Gruppe bildeten, 

 wenn jedes (mi u^) sich als Funktion der u ausdrücken liesse. 

 Enthielte die Gruppe insbesondere r unabhängige Funktionen, 

 die hinsichtlich der p homogen waren, nannte ich die Gruppe 

 homogen. In der Zukunft werde ich, wo eine Verwechslung 

 überhaupt möglich ist, das Wort Funktionen-Gruppe in dem- 

 selben Sinne wie in jener Abhandlung das Wort Gruppe an- 

 wenden. Ich distinguire also in der Zukunft zwischen den 

 beiden wesentlich verschiedenen Begriffen Funktionen-Oruppe 

 und Transformations-Gruppe. 



Ist Hl . . . Hr eine Transformations-Gruppe, so dass also 

 jedes (HiHk) sich als Summe der ^s multiplicirt mit Con- 

 stanten ausdrückt, so bilden einige unter den H eine Funk- 

 tionen-Gruppe, an der die übrigen H angehören. Besteht 

 überhaupt keine Relation der Form 



${h,...h;) = 0, 



so bilden die H eine y-gliedrige Funktionen-Gruppe, und dann 

 decken sich die beiden Begriffe Transformations-Gruppe und 

 Funktionen-Gruppe. 



Wird eine Transformations-Gruppe H^ . . .Hr in eine 

 andere H^* . . . H,' übergeführ, tso zwar, dass jedes Hk in das 

 entsprechende Bk' übergeht, so muss auch nach den Entwicke- 

 lungen meiner früher citirten Abhandlung 



(Siflk) = (ÆT/fikO 

 sein. Und daher geht die Gleichung 



