192 Theorie der Ti-ansformations-Gruppen. 



erfüllen. Also können wir den folgenden Satz aussprechen: 

 Theorem 7. Wenn eine Transformations-Gruppe 

 vorgelegt ist, so kann man immer eine lineare Trans- 

 formations-Gruppe aufstellen, die mit ihr gleich- 

 zusammengesetzt ist. 



Uebrigens kann man aus den obenstellenden analytischen 

 Entwickelungen noch einen anderen bemerkenswerthen Schluss 

 ziehen. Bestehen in der That die Bedingungs-Gleichungen 



(9) ^s(<7kjs Csiö — Ckis CsjÖ Cjis ksö) *= 



SO ziehen, fanden wir, die Gleichungen 



dF 

 dys 

 die folgenden 



MÄi{F)) - MAjiF)) = S,Cji,Ä,{F) 

 nach sich. Umgekehrt ist aber früher gefunden, dass die 

 letzten Gleichungen die obenstehenden Relationen zwischen 

 den c nach sich ziehen. Folglich sind diese beiden Gleichungs- 

 Systeme aequivalent. Also 



Theorem 8. Sind Ä^F . . . . AjF inf. Transformationen einer 

 Gruppe, deren ^Zusammensetzung durch die Relationen 



AiUk(F)) - Ak(^i(F)) = ^,Cn..Ä,F 

 bestimmet ist, so sind die Constanten c durch die Bedingungs- 

 Gleichungen (9) verbunden ; und wenn umgekehrt ein Grössen- 

 System c vorgelegt ist, welches diese Beding ungs- Gleichung en 

 erfüllen, so giebt es immer Transformations-Gruppen, welche 

 die hiermit deßnirte Zusammensetzung besitzen. 



Hier möge noch der folgende Satz seinen Platz finden : 

 Satz 13. Jede infinitesimale Transformation der r-gliedrigen 

 Gruppe H^ . . . H^ gehört einer zweigliedrigen Untergruppe an. 

 Um zu beweisen, dass etwa H^ einer zweigliedrigen Unter- 

 gruppe angehört, setzen wir 



H = p^H.^ + ... + PnHu, 



woraus 



