Sophus Lie, 195 



nation der A, die Grössen xî und -pî als Funktionen von den 

 Xi und pi zu bestimmen, so befriedigen die gefundenen Werthe 

 die Gleichung (1). Durch Differentiation von (2) kommt 

 nemlich unter allen Umständen 



dx^s. doßis! 



und durch Benutzung von (3) 



2^p\idx^ — 2^p^' dx)^' = 0, 

 welche Gleichung also immer aus (2) und (3) folgt. 



Es ist nun aber einleuchtend, dass es unter Umständen 

 unmöglich sein kann, aus den Gleichungen (2) und (3) die 

 Grössen œ^' p-^' als Funktionen von den xp zu bestimmen, 

 indem diese letzten Grössen durch gewisse Kelationen 



W^{X^ . . .XuPi- . .pn) = . . . Wm = 



verbunden sind. Dieser Ausnahmfall, der früher kaum berück- 

 sichtigt worden ist, soll in dieser Note eingehend discuttirt 

 werden. Es soll nachgewiesen werden, dass die Gleichungen 

 (2) und (3) auch in diesem Falle eine Berührungs-Beziehung 

 bestimmen; allerdings nicht zwischen allen Werth-Systemen 

 æ' p' und xp, sondern nur zwischen denjenigen Werth-Systemen, 

 die zwei m-gliedrigen Involutions-Systemen resp. in den Va- 

 riabein œp und in den Variabein x' p' angehören. 



Wir beweisen zunächst, dass sich aus den Gleichungen 

 (2) und (3) immer gleichviele Kelationen zwischen den Grössen 

 xp und zwischen den Grössen x' p' herleiten lassen. 



Um diesen merkvürdigen Satz zu beweisen, ist es zweck- 

 mässig mit Klein die Clebscheschen Connex-Goordinaten 



X-^ . , , Xa Pl • • ' Pn 



anzuwenden. Hier fassen wir sowohl die Xi wie die pi als 

 Verhältnissgrössen auf, und ausserdem setzen wir voraus, 

 dass die Xi und pi durch die Bediugungs-Gleichung 



^iPl + ... + XnPa = (4) 



verbunden sind. 



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