Sophus Lie. 197 



herleiten lassen, so wird man durcli ein ganz analoges Rä- 

 sonnement zur Aufstellung der Determinante 



_ d^£i år- a d.^a 



dx^* dx^ dx^' dx^ ' dx^dæa 

 geführt. Nun aher ist offenhar D* identisch dieselhe Deter- 

 minante wie i>, nur mit dem Unterschiedej dass die Reihen 

 und Colonnen vertauscht sind. Also erkennen wir, dass auch 

 die Grössen Xy pî durch m, und auch nicht durch mehrere 

 Relationen verbunden sind. Also 



Satz. Ist es möglich zwisehen den Gleichungen 



XiPi + ... + XnPn =0, D,(Xj^ . , .XnXi' . , , X^) = 



dû. ^ _ dO. 



dx^ ' ^ dx]s^' 



die Grössen x^' , . . Xn Pi' • • -Pn zu eliminiren, zmd findet man 

 hierdurch m Relationen zwischen den æ pj so gehen jene Glei- 

 chungen auch m Relationen zwischen den Grössen x' p'. 

 Sei jetzt vorgelegt q Relationen 

 (8) ßj (a;, . , ,XnX^' . . . xj) == . . . i2q = 



und lass uns setzen 



' dxk " ' "^"^ dxk dxn 



Wir können annehmen, dass alle Funktionen £1 sowohl hin- 

 sichlich der Xi wie der Xy' homogen von ster Ordnung sind. 



Wir fragen nun ob es möglich ist zwischen (8) und (9) 

 die Grössen X und Xy zu eliminiren, und hierdurch Relationen 

 zwischen den a^p herzuleiten. Um diese Frage zu beantworten^ 

 setzen wir der Kürze wegen 



A-, ßi + . . . + Aq_l i2q_l + ßq = TF 



und bemerken, dass aus den Gleichungen 



dW „ 



folgt 



