Sophus Lie. 199 



Determinante wie D, nur mit dem formalen Unterschiede, 

 dass die Reihen und Colonnen vertauscht sind. Folglich 

 geben auch die Gleichungen (8) und (10) m Relationen und 

 auch nicht mehrere zwischen oc' und p'. Dies giebt 

 Satz. Ist es -möglich zwischen den Gleichungen 



ßl = . . . ßq = 



d£li , „ ^ d£l, 



die Grössen Xi' . . . cCa p ^ . . . pj P i ■ ^ pq zu eliminiren, und 

 ßndet man hierdurch m Relationen zwischen den Grössen XiPi, 

 so bestimmen jene Gleichungen genau dieselbe Anzahl Relationen 

 zwischen den Grössen X\ pî. 



Lass uns voraussetzen, dass die Gleichungen (8) (9) und 

 (10), die nach dem Vorangehenden immer (1) befriedigen, m 

 Relationen zwischen x^,.. pn- 



W,{x,...pr,) = W^ = (12) 



und also auch m Relationen zwischen Xi ...pj 



^{x^'...pn') = ^m = (13) 



bestimm en. Fasst man nun die Grössen Xi als Parameter 

 auf, so bestimmen die Gleichungen (8) und (9) nach den 

 Entwickelungen, die ich in meiner allgemeinen Theorie der 

 partiellen Differential-Gleichungen 1.0. (Math. Ann. Bd IX) 

 gegeben habe, Integral-iüfn-i von den Gleichungen (12), die 

 eo ipso die grösstmögliche Anzahl gemeinsamer Integral- 

 Jlfn-i besitzen. Daher können (12) durch Auflösung auf die 

 Form eines Involutions-Systems gebracht werden, und wir 

 können uns der Einfachkeit wegen auf den Fall beschräncken, 

 dass dieses Involutions-System die Form 



p, <= hy ... pm = hm (14) 



besitzt, wo die h Funktionen von pm+\ . . .pn^i . • -x^ sind. In 

 ganz entsprechender Weise erkennt man, dass auch die Glei- 

 chungen (13) auf die Form eines Involutions-Systems etwa 

 p,' = hy' ...V = h^' (15) 



gebracht werden können. 



