Sophiis Lie. 337 



stattfindet, so befriedigen Fq+i . . . Fgo das System (1), dessen 

 sämmtliche Lösungen Funktionen von /^ . . .fco i^q+i . . . Fco sind. 

 Die Grösse U befriedigt die Gleichungen 



Fasst man die Grössen Xy . . .Xni^i . . .pn als Funktionen von 

 2w neuen unabhängigen Variabein auf, nehmlich von f-^^ .. .fco 

 zusammen mit 2n — œ weiteren Grössen u^ .,.ti2n-m, so sind 

 die Grössen Fi und Z7 durch die folgenden Formeln bestimmt 



aui 



F = Ç^ ^ (^ — — — ^) d 



J ^ ^ dui dfe dui dfe 



_ dU ^ r> ^^^ 



dfs dfe 



Hiermit ist die Integration des vorgelegten Involutions-Systems 

 i^i = ö-j . . . i^q = o-q vermöge einer Quadratur geleistet. 



Dieser merkwürdige Satz lässt sich auch folgendermassen 

 aussprechen : 



Kennt man unter den Lösungen des Systems 



^1 ^ (/i/) = . . . (A/) = wo (/i/k) = 



eine so grosse Anzahl /qi . . .fco, dass die Gleichungen 



/i = Const. ... /ca = Const. 



den Ausdruck 2?^^ dæ^^ . . . +pndxn in ein vollständiges Diffe- 

 rential d U umwandeln, so verlangt die Integration des vor- 

 gelegten Involutions-Systems, nachdem man ü durch eine 

 Quadratur bestimmt hat, nur gewisse Differentiationen. 



Dieser Satz umfasst als Grenzfälle einerseits die Jaco- 

 bische Theorie des letzten Multiplicators, angewandt auf 

 partielle Differential-Gleichungen 1. 0., andererseits den fol- 

 genden Jacobischen Satz: 



Bestimmen die Gleichungen F^ = Uy . . . Fn = an die Grössen 

 p, . . . pn derart als Funktionen von ii\ . . . Xn, dass der Ausdruck 



