338 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



^Pidxi integrabel wird, so verlangt die Integration einer 

 jeden Gleichung F^ = a^ nur ausführbare Operationen. 



In gewissen Fällen giebt mein Theorem Lösungen, die 

 man ohne Quadratur durch Anwendung des Poisson-Jaco- 

 bischen Theorems erhalten könnte. Doch ist das letztgenannte 

 Theorem keineswegs als Specialfall in meinem Satze enthalten. 



Aber ausserdem giebt mein Theorem die fehlenden Lö- 

 sungen in einer Reihe Fälle, die man früher nicht behandeln 

 wusste. Hervorzuheben ist übrigens auch, dass die beiden 

 obengenannten Jacobischen Theorien, die in meinem Theo- 

 reme als Specialfälle enthalten sind, eben durch dasselbe 

 eine grössere Einfachkeit erhalten, wie wir später näher 

 nachweisen. 



Ich liefere zwei wesentlich verschiedene Beweise meines 

 Satzes, indem ich ihn successiv als Verallgemeinerung einer 

 jeden der beiden besprochenen Jacobischen Theorien auffasse. 

 Im vierten Paragraphe entwickele ich darnach eine weitere 

 Integrations-Theorie, die sich sowohl auf das Mayersche 

 Theorem, wie auch insbesondere auf meine eigenen früheren 

 Untersuchungen stützt, welche die Tragweite meines Theorems 

 ganz bedeutend erweitert. 



Endlich beweise ich im fünften Paragraphe, dass die 

 dargestellten Theorien den grösstmöglichen Vortheil aus 

 mehreren bekannten Lösungen zu ziehen erlauben. 



§ 1. 

 Ein Fundamental-Tlieorem. 



Zunächst beweise ich zwei Hülfsätze und erhalte sodann 

 durch ihre Vereinigung das angekündigte Theorem. 



Satz 1. Sind /^...fco bekannte Funktionen von æ-^ . . . aJn 

 Pl . . .^n» die eine Relation der Form 



2p dx = Fydf^ + ... + Foo d/œ = du (2) 



