340 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



bestimmt wird. Anwendet man dagegen die Formeln (5) und 

 (4), so ist es klar, dass man die Funktion £1 ganz arbiträr 

 wählen kann, dabei selbstverständlicherweise vorausgesetzt, 

 dass sich die Gleichung (2) überhaupt befriedigen lässt. 



Satz 2. Ich setze voraus, dass /i = ^i • • */ci = «q ein vor- 

 gelegtes Involutions- System ist, und dass man unter den Lö- 

 sungen des vollständigen Systems 



(6) CA/) = o...(A/) = o 



eine so grosse Anzahl /q+i . . ./r gefunden hat, dass es überhaupt 

 n-gliedrige Involutions-Systeme gieht, deren Funktionen sämmt- 

 lich die Form î^k(/i •••/!) besitzen. Alsdann ist es immer 

 möglich die fehlenden Lösungen des Systems (6) durch ausführ- 

 bare Operationen zu bestimmen. Ebenso findet man die all- 

 gemeinste Funktion, welche den Gleichungen [/^ ,z — ZT] == . . . 

 [/q 1 ^ — Z7] = genügt, durch ausführbare Operationen. 



Beweis. Da es ?i-gliedrige Involutions-Systeme der Form 

 ^k (/i . . ./r) giebt, können wir sehliessen, dass es auch w- 

 gliedrige Involutions-Systeme der Form 



/i • • -/q ^q+1 (/r • • • /r) (Pci+2 • • • Ç?n 



giebt. Daher besteht eine Relation 



(7) :2pdx = F^,dfi+...+Ft^df^ -t- ^c^+i (Z<pq+i + . . . + ^ndcpn + dU, 



welche bekanntlich die folgenden Gleichungen 



(8) (/i <pyö = 0, (/i 0^) = [fu z-U] = 



nach sich zieht. Denkt man sich nun in (7) die qjy, als Funk- 

 tionen der / ausgedrückt, so kommt eine Relation der Form 



^pda; = F^dfi+... + Frdf. + dU, (9) 



wo Fq+i ...Fr als Funktionen von <?q+i ... ^n fx- "fr 



i'q+k = <Pq+l J^ ^- . . . + «Pn ;j^r— " 



dem Systeme (6) gentigen. 



Die letzten Formeln zeigen zugleich, indem man die 



