Sophus Lie. 341 



Unabhängigkeit der Grössen /^ . • ./q ^q+i . . .cpn berücksichtigt, 

 dass <?q+i . . . ^n sich als Funktionen von i^q+i . . . F^f^ . . ./r 

 ausdrücken lassen. Und da wegen (7) alle Lösungen des 

 Systems (6) Funktionen von /^ . . ./q ^q+i . . . cp^ «^q+i . . . ^n 

 sind, folgt, dass alle Lösungen Funktionen von den Lösungen 

 JPq+i ...Frfi . . .fr slud. Die Grössen Fi, lehrten wir aber in 

 dem vorangehenden Satze bis auf eine unwesentliche Funktion 

 von /, .../,■ zu bestimmen. 



Bestimmt man ferner nach demselben Satze die Grösse 

 ü aus der Gleichung (9), die mit (7) aequivalent ist, so findet 

 man wegen (8) die allgemeinste Grösse, welche den Glei- 

 chungen [fi,z— Z7] = . . . [/q, 5: — U]=0 genügt. — 



Theorem 1. Kennt man unter den Lösungen des 

 vollständigen Systems 



(10) (A /) = . . . (/q/) = wo (/i/o = 



eine so grosse Anzahl /i . . ./q . • ./r, dass eine Relation 

 der Form 



2pdæ = F^dfi + ... + Frdfr + dü' 



besteht, so sind i^q+i . . . Fr die fehlenden Lösungen des 

 Systems (10), ivährend U die Gleichungen 



[A,^- Cr] = 0... [/,,.._ Z7] = (11) 



erfüllt. Führt man statt x^ . . .æn p^ . . . pn neue unab- 

 hängige Variabein ein, nemlich f^ .. .fr zusammen mit 

 2n — r passend gewählten iveiteren Grössen u, . . . ?f2n-r» 

 so ist 



£/"= I ^i ^u^^k -r-^ dui 



dU ^ dœ 



Fi = -~+2p 



S 



df ^ ^ rf/ 



^ ^ ^dpy, doß\, djJk dXk. , 

 dui df df dui ' 



die Ausdrücke der fehlenden Lösungen der Systeme (10) ^md (11). 



Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 23 



