342 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



Beweis. Zu den bekannten Lösungen f\ . . ./r des Sy- 

 stems (10) kann man sich soviele weitere Lösungen /i+i . . ./s 

 zugefügt denken, dass es w-gliedrige Involutions-Systeme der 

 Form î/'k(/i ..-/s) giebt, und also eine Relation der Form 



besteht. Nach dem vorangehenden Satze sind dann ï^q+i . . . Wg 

 Lösungen des Systems (10), während V das System (11) 

 befriedigt. 



Nun aber kennen wir schon eine solche Relation nemlich 



(2) 2 pdx = F^ dfi+. .. + Fr df, + dU 



und folglich ist U eine Lösung von (11), während JP'q+i . . . i^r 

 das System (10) befriedigen. Es steht zurück nachzuweisen, 

 dass alle Lösungen von (10) Funktionen von /^ ...f, Fq+i . . . F^ 

 sind, oder anders ausgesprochen, dass es unter diesen Grössen 

 2n — q giebt, die von einander unabhängig sind. 



Gäbe es nur 2n—q—8 unabhängige unter jenen Grössen, 

 so enthielte der Ausdruck 



F,df,+ + Frdfr 



nur 2n — e unabhängige Grössen, und könnte daher nach der 

 Theorie des Pfaffschen Problems jedenfalls die Form 



^j dcpi + . . . + <Pn-i dcp„-\ + dW 



erhalten, woraus 



:Sp dx= ^^dq)i + ... + ^n-i dcpn-\ + d{W + U) 



folgen würde. Dies ist aber bekanntlich eine unmögliche 

 Gleichung, und folglich sind Fc^+i . . . F,. die fehlenden Lö- 

 sungen des Systems (10). 



Berücksichtigt man endlich die im Anfange dieses Para- 

 graphes gegebene Bestimmung der Grössen U und F],, so 

 erkennt man die Richtigkeit unseres Theorems. 



