Sophus Lîe. 343 



Ich werde zeigen, dass Satz 2 vereinigt mit dem Poisson- 

 Jacobischen Theoreme ebensoviel wie Theorem I leistet. Es 

 besteht in der That der folgende Satz. 



Satz 3. Sind f^ . . ./r Funktionen von æ^ . . . Xn Pi . . .pa, 

 die eine Relation der Form 



:Spda) = F^df,+... + Frdf, + dU (13) 



erfüllen, so enthält die aus /i . . . fr durch Änwenduncf des 

 Poisson-Jacohischen Theorems hervorgehende Gruppe n-gliedrige 

 Involutions- Systeme und besitzt daher die canonische Form 



Beiveis. Sei Xj . . . Xu Pi . . . Pn-e die canonische Form 

 derjenigen Gruppe, die aus /i.../r vermöge des Poisson- 

 Jacobischen Theorems hervorgeht. Wir haben zu zeigen, dass 

 u gleich n ist. 



Ersetzen wir in (13) die /k durch die entsprechenden 

 Funktionen von JTi . . . Jl^ Pi . . . Pus, so kommt eine Re- 

 lation der Form 



:Spdæ=h ^k dXi, +"2 ^k dPk + dU. 

 1 1 



Sind andererseits Xj . . . JTn P^ . . . Pn ein System canonischer 



Variabein, so ist bekanntlich 



Sp dæ = P, dX^ + . . . + P„ dXr, + dV. 



Also kommt 



-I Pk dXi, = ^ ^k fOTk + ^ 5k dPk + d{ ü— V) 

 1,11 



und wenn wir hier die Substitution 



Xi = Const Xu == Const., P^ ■= Const P„ = Const. 



machen, folgt 



^kPu+kti^u+k +rfTF==0. 



Da nun aber die Grössen P und X von einander unabhängig 

 sind, so müssen die beiden Glieder der letzten Gleichung ver- 

 schwinden, was wieder heisst, dass m gleich n sein muss. 



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