344 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



§ 2. 

 Bekannte Specialfälle der vorangehenden Theorie. 



Das aufgestellte Theorem umfasst zwei berühmte Jaco- 

 bische Theorien, nemlich die Anwendung- der Multiplicator- 

 Theorie auf die partiellen Differential-Gleichungen 1. 0., und 

 andererseits den folgenden Fundamental-Satz der Jacobischen 

 Integrations-Theorie : 



Bestimmen die Gleichungen i^^ = a^ . . . Fn'^ an die Grössen 

 2)i..-pa derart als Funktionen von aj^.-.x^ und den Con- 

 stanten a, dass Pl dæ^ + . . . + pn dxn ein vollständiges Diffe- 

 rential d U wird, so ist 2^ — 77= a eine vollständige Lösung 

 einer jeden Gleichung 2^k = «k ; die Differential-Quotienten von 

 U hinsichtlich a^ . . . a],'_i «k+i . . • «n sind zusammen mit den 

 Grössen F die Lösungen der Gleichung (Fk 'P) = 0. 



Diesen Satz verallgemeinerte ich schon längst folgender- 

 massen : 



Sind F^ . . . Fn bekannte unabhängige Funktionen von 

 c»i . . .Wu Pi ■ . • Pa, die in solcher gegenseitigen Beziehung 

 stehen, dass die Gleichungen F^ = Const. ... i^„ = Const, den 

 Ausdruck pidæi + . . . + pndæn zu einem vollständigen Diffe- 

 rential umwandeln, so findet man eine vollständige Lösung 

 einer jeden Gleichung F^ = «k durch eine Quadratur und 

 darnach alle Lösungen der Gleichung (JPk ^) = durch Diffe- 

 rentiation. 



In dieser Weise verallgemeinert ist die betreffende Jaco- 

 bische Theorie offenbar ein Specialfall meines Theorems I. 



Mehr überraschend ist es, dass die Bestimmung der 

 letzten Lösung der Gleichung (F ø) = 0, die Jacobi vermöge 

 seiner Multiplicator-Theorie ausführt, in allen Fällen, die 

 nicht schon durch das Poisson-Jacobische Theorem erledigt 

 werden, durch mein Theorem geleistet wird. 



Kennt man nemlich unter den Lösungen der Gleichung 

 (/, /) = alle ausgenommen die letzte, etwa/, ...fr, und ist 



