Sophus Lie. 345 



es dabei unmöglicli die fehlende Lösung ohne Quadratur durch 

 das Poisson-Jacobische Theorem aufzustellen, so bilden die 

 /k eine Gruppe, welche die canonische Form JiTi . . . Xn 

 P, . . . P„_2 besitzt, und daher w-gliedrige Involutions-Systeme 

 enthält. Folglich wird die Bestimmung der fehlenden Lösung 

 durch mein Theorem geleistet. 



Doch ist es keineswegs so, dass die betreffende Specia- 

 lisation meines Theorems sich mit der entsprechenden Jaco- 

 bischen Theorie deckt. Die Jacobische Theorie leistet inso- 

 fern mehr, wie sie die letzte Lösung auch dann durch eine 

 Quadratur giebt, wenn dieselbe sich einfacher durch das 

 Poisson-Jacobische Theorem finden lässt. Auf der anderen 

 Seite ist meine Behandlungs-Weise insofern mehr vollkommen, 

 wie sie vermöge einer Quadratur nicht allein die fehlende 

 Lösung von (/i /) = sondern auch die allgemeine Lösung 

 von [/i,2; — Z7] = giebt, so dass eine vollständige Lösung 

 von /i = «1 sich ohne -weitere Quadratur aufstellen lässt. 

 Die Jacobische Methode braucht dagegen einer zweiten Qua- 

 dratur zur Aufstellung einer vollständigen Lösung. 



Soll also die Gleichung /i = «, integrirt werden, so ist 

 es, wenn nur eine Lösung von (/, /) = fehlt, zweckmässigst 

 Theorem I anzuwenden, wenn nicht zufälligerweise schon das 

 Poisson-Jacobische Theorem die fehlende Lösung giebt. In 

 beiden diesen Fällen verlangt die Aufstellung einer vollstän- 

 digen Lösung eine Quadratur. 



Es giebt Fälle, in denen mein Theorem dieselben Lö- 

 sungen wie das Poisson-Jacobische Theorem giebt. Kennt 

 man nemlich unter den Lösungen des vollständigen Systems 



(/i/) = 0...(A/)=ö wo (/i/u) = 



eine so grosse Anzahl /, .../,, dass eine Bedingungs-Gleichung 

 der Form 



