Sophus Lie. 347 



dass die Eulersche Theorie des lutegraMlitätsfaktors vereinigt 

 mit dem Poisson-Jacobischen Theoreme für die partiellen 

 Differential-Gleichungen 1. 0. ebensoviel wie die Jacobische 

 Multiplicator-Theorie leistet. 

 Sei 



/l = «1 . . ./q = «q wo (/i/k) = 



ein vorgelegtes Involutions-System, und ^q+i . . .q>x bekannte 

 Lösungen des vollständigen Systems 



(14) (/i^) = 0,..(A^) = 0, 



die von einander und von /j . . ./q unabhängig sind. Setzen 

 wir nun 



so finden wir mit Berücksichtigung der Eelationen (/i ç>k) = 0, 

 dass alle Ausdrücke 



gleich Null sind. Wir kennen also, können wir sagen, nicht 

 allein r—q Lösungen <pq+i . . . (pr des vollständigen Systems 

 (14), sondern auch r — q infinitesimale Transformationen 

 ^q+i q) . . . BrÇ), welche unser vollständiges System invariant 

 lassen. 



In der citirten Abhandlung lehrten wir aber den Um- 

 stand, dass gleichzeitig gewisse Lösungen und gewisse infini- 

 tesimale Transformationen eines zur Integration vorgelegten 

 vollständigen Systems bekannt sind, zu verwerthen. Indem 

 wir die in jener Abhandlung gegebenen Kegeln genau folgen, 

 werden wir mit Nothwendigkeit auf ein Theorem geführt, das 

 im Wesentlichen mit Theorem I aequivalent ist. 



Zuerst sollen wir versuchen durch ausführbare Opera- 

 tionen weitere Lösungen und weitere infinitesimale Trans- 

 formationen unseres Systems aufzustellen. Zu diesem Zwecke 

 haben wir die Ausdrücke Bi{B^{q))) — Bi,{Bi{(p)), welche 



