Sophus Lie. 349 



D = [(^q+l <pq-f l) (^s «Ps)] 



verschwindet oder von Null verschieden ist. 



Setzen wir, wie im ersten Paragraphe, voraus, dass die 

 Gruppe /i . . ./q <7?q4-i . . . q>s die canonische Form X^ . . . Xn 

 Pj . . . Pn_m-q bcsitzt, SO wcrdcn wir finden, dass die m 

 fehlenden Lösungen des Systems A\^q) = sich durch m 

 Quadraturen aufstellen lassen. 



Die Gruppe der / und cp enthält ausser fi'-./q m aus- 

 gezeichnete Funktionen, die £1^ ... jQm heissen mögen. Daher 

 verschwindet die Determinante D, wie auch ihre Unterdeter- 

 minanten erster, zweiter bis (m — l)*^"^^ Ordnung. Und 



folglich bestimmen die Gleichungen (15) die Grössen 7t als 

 lineare Funktionen von m unter ihnen, etwa von TTq+i . . . TTq+m. 

 Die allgemeinste infinitesimale Transformation Oçi besitzt 

 daher die Form 



^Tq+i C\ <p + . . . + TTq-l-m Om (p 



WO die OL (p ganz bestimmte Grössen, die zurückgebliebenen 

 TTk dagegen arbiträre Funktionen der / und cp bezeichnen. 

 Insbesondere sind G^q) . . .C^q) selbst infinitesimale Trans- 

 formationen der verlangten Form, die unser vollständiges Sy- 

 stem invariant lassen. 



Da die ausgezeichneten Funktionen £1 Funktionen von 

 den / und cp sind, folgt dass die (ilk qj) sich folgendermassen 

 ausdrücken lassen : 



(i2k q>) = ^i ©ki (/r . . /q <Pq+i . . . (ps) -Bi (p ; 

 auf der anderen Seite ist 



(/lk<p) = :Si(/2kWi)^. 



Also bestehen m Relationen der Form 



(ßk cp) = 2i TTki (/^ . . ./q <p,,+i , . . <ps) Ci ^, 



und da keine lineare Relation zwischen den (ßk (p) bestehen 

 darf, folgt einerseits, dass die infinitesimalen Transformationen 



