Sophus Lie. 351 



bildet. Alsdann ist — ein Integrabilitätsfaktor unserer totalen 

 Differential-Gleichung'/ und folgiich ist 



A- = I ^ ( TTr, 1 C^lti + . . . + TTr, m+q (^Wm-f q) 



ein Integral unserer totalen Gleichung, und also auch eine 

 Lösung des Systems ^k <?> = 0. 



Giebt man r successiv die Werthe 1, 2 ... m, so erhält 

 man m Lösungen L^.^.L^,, die von einander, wie von den 

 / und q) unabhängig sind, welche also eben die fehlenden 

 Lösungen des Systems J.k <7-> = sind. 



Hiermit sind wir zu dem in Anfange dieses Paragraphs 

 angekündigte Resultat gekommen. 



§ 4. 

 Allgemeine Verwerthung mehrerer bekannten Lösungen. 



Um den vollen Nutzen aus Theorem I ziehen zu können, 

 ist es nothwendig, eine neue Theorie zu entwickeln. 



Sei wie früher /i = «i . • ./q = «'q ein zur Integration vor- 

 gelegtes Involutions-System und 9?q+i . . . qj^ bekannte Lösungen 

 des vollständigen Systems 



(/,(p) = 0...(A^) = 0; (16) 



wir setzen voraus, dass sich keine 'weiteren Lösungen durch 

 das Poisson-Jacobische Theorem finden lassen, dass also 

 /i . . ./q ç>q+i . . . cpt eine Gruppe bilden, und zwar eine Gruppe, 

 die ausser den / noch m ausgezeichnete Funktionen £1^ . . . D.^ 

 enthält. Wir werden zeigen, dass man immer die noch feh- 

 lenden m + 21 Lösungen des Systems (16) vermöge der Ope- 

 rationen 21, 21 — 2 ... 6, 4, 2 bestimmen kann. 



Kannte man zufälligerweise die ausgezeichneten Funk- 

 tionen D,^ . . . Um, so könnte man das System 



( A 9,) = . . . (A <?>) = 0, (ßi <p) = . . . (a. <p)-o (17) 



aufstellen, und da man schon die Lösungen /j^ . . ./q <Pq-fi • • • «Pr 



