352 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



kennt, könnte man eine weitere Lösung durch eine Operation 

 21 finden. Kennt man dagegen nicht die Grössen £1, so sieht 

 man nicht unmittelbar ein, dass man nichtsdestoweniger das 

 System (17) aufstellen kann. Dies ist jedoch immer möglich, 

 wie jetzt gezeigt werden soll. 



Wir führen statt æ-^ . . .ooa p^ . , .p^^. neue unabhängige 

 Variabein ein, nemlich f-^ • • ./q ç^q-i-i . . . <Pr zusammen mit 

 m + q+2l = Go weiteren Grössen u-^. . .uoo. Alsdann kommt 



(A (p) = ^i (/k t*i) ^^. = = J.k cp 



{cp^ (p) - :Si (<pk cp{) ^ + ^i ((pk u{) ^_ = Bi, cp. 

 Wir setzen 



Ccp = :Si n^i (/l . . ./q ^q+1 . . . Cpr) Bi cp 



und versuchen die 7t derart zu wählen, dass C q) nur Diffe- 

 rential-Quotienten hinsichtlich der Ui enthält. Dies giebt wie 

 im vorigen Paragraphe für C cp einen Ausdruck der Form 



TTq-i-i C-^ cp + . . . + TTq+ni Gm. <P 5 



und man erkennt wie damals, dass das Gleichungs-System 



(18) s (A9.) = ,..(A^) = 0, C',^ = 0...On,ç) = 0, 



das wir aufstellen können, mit dem Systeme 



(17) (/, çp) = 0...(A(p) = 0, (ß,r^) = 0...(A.cp)=0, 



das Avir nicht unmittelbar aufstellen können, aequivalent ist. 



Da nun das (m -H g)gliedrige System (18) ausser der als 

 Constanten auftretenden Grössen /, q) nur m + q-b2l unab- 

 hängige Variabein, nemlich die u enthält, so findet man eine 

 Lösung ijj^ durch eine Operation 21. Es ist hierbei sehr 

 merkwürdig, dass eine jede Lösung rj)-^ jedenfalls denselben 

 Nutzen wie zwei solche Lösungen macht. Um dies nachzu- 

 weisen, müssen wir die verschiedenen Fälle, die eintreten 

 können, berücksichtigen. 



Es ist zunächst möglich, dass die bekannten Lösungen 



