Sophus Lie. 353 



des Systems (18) uemlich /^ . . ./q (^q-^i . . . (p^il^i eine Gruppe 

 bilden. Ist dies der Fall, so sind /^ . . . /q ß ^ . . . D.^ weg-en 

 der Gleichimgeu (17), die mit (18) aeqiüvaleut sind, aus- 

 gezeichnete Funktionen dieser Gruppe. Und da die Differenz 

 zwischen der Zahl der Glieder und der Zahl der ausgezeich- 

 neten Funktionen in einer jeden Gruppe eine grade Zahl sein 

 muss, folgt, dass die neue Gruppe m + q+ 1 ausgezeichnete 

 Funktionen enthalten muss. Bezeichnen wir die hinzutretende 

 a,usgezeichnete Funktion mit W, so ist es immer möglich, 

 indem wir wie früher verfahren, ein vollständiges System auf- 

 zustellen, das mit 



if,cp) = o... (f^cp)^o, {a,cp)^o... (nn.cp)=-o, (Wcp) = o 



aequivalent ist. Und da man r + 1 Lösungen dieses Systems 

 kennt nemlich /i . • ./q <Pq+i . . . ç>ril^i, findet man eine weitere 

 Lösung durch eine Operation 21 — 2 u. s. w. 



Es ist andererseits auch denkbar, dass/;^ • • -A ^q-f-i . ■ - (pi-ipi 

 keine Gruppe bilden. Alsdann giebt das Poisson-Jacobische 

 Theorem noch weitere Lösungen, etwa 1^2 . - ^tps des Systems 

 (18). In der hierdurch hervorgehenden Gruppe sind jedenfalls 

 /j^. . ./q /2^ . . . ßni ausgezeichnete Funktionen, und folglich 

 ist dieser Fall jedenfalls ebenso vorth eilhaft wie der soeben 

 betrachtete. 



Unter allen Umständen kann man folglich vermöge der 

 Operationen 21, 21 — 2 ... 6, 4, 2 unser Integrations-Problem 

 auf eire solche Form bringen, dass es sich vermöge des 

 Theorems I erledigen lässt. 



Theorem IL Soll das Involutions-System 



/i = «i . • ./q = o^n 

 integiHrt werden, und kennt man dabei eine A.nzahl 

 Lösungen des vollständigen Systems 



etwa (pq^i . . . (pr, so sucht man z^ier st weitere Lösungen 



