354 Resume einer neuen Integrations-Theorie. 



vermöge des Poisson- Jacobischen Theorems zu be- 

 stim,m,en. Sei /i • • ./q <pq+i . . . ^s die hierdurch be- 

 stimm,te Gruppe, die ausser der f noch tn a^isgezeich- 

 nete Fîinktionen enthalten mag, ivelche jedoch im, 

 Allgemeinen unbekannt sind. Alsdann verlangt die 

 Integration des vorgelegten Involuti\ons-Systems im 

 ungünstigsten Fal[le nur noch die Operationen 



2n — s — m, 2n — s — m — 2 ... 6, 4, 2. 



Um die grosse Wichtigkeit dieses Theorems hervortreten 

 zu lassen, behandle ich einige Beispiele schematisch. 



Sei /i = «1 • . ./q = «q das vorgelegte Involutions-System, 

 und seien /q+i . . ./r bekannte Lösungen des Systems, 



(/l/)=0 ... (/q/)=0. 



Ich setze successiv voraus, dass noch 2, 3, 4, 5, 6 . . . Lösungen 

 fehlen ; und ich werde die verschiedenen Falle, die bei ihrer 

 Bestimmung eintreten können, aufzählen. Fehlen insbeson- 

 dere eine ungrade Anzahl Lösungen, so erlauben meine neuen 

 Theorien immer die zurückstehenden Integrations-Operationen 

 wesentlich zu vereinfachen. 



1) Fehlen zwei Lösungen, so sind zwei Fälle möglich; 

 entweder enthält die Gruppe åtr f ausser /^ . . ./r keine 

 .weitereu ausgezeichneten Funktionen ; ulsdann brauche ich eine 

 Operation 2 und eine Quadratur, die ich symbolisch mit der 

 Zahl bezeichne. Oder auch enthält unsere Gruppe noch 

 zwei ausgezeichnete Funktionen; alsdann genügt eine Qua- 

 dratur zur Afstellung einer vollständigen Lösung. Früher 

 brauchte man die Operationen 2, 1 und eine Quadratur, was 

 ich mit den Zahlen 2,1,0 bezeichne. War insbesondere <? = 1, 

 so könnte man die Jacobische Multiplicatortheorie anwenden, 

 und brauchte dann nur eine Operation 2 und zwei Qua- 

 draturen. 



