360 Resume einer neuen Integrations-Tiieorie. 



Pq+i. . . Pq' ; dass X^ . . . Xo^< Pq+1. • . Pq" eiiiB canonische Gruppe 

 bildeten, so verlangte die Integration des vorgelegten Invo- 

 lutions-Systems, wie wir eben sahen, jedenfalls die Ope- 

 rationen 2îi — 2q", 2n — 2q 2, . . . 6, 4, 2. Da nun aber die 



Integration, auch wenn nur die Lösungen (22) bekannt sind, 

 durch die eben genannten Operationen geleistet werden kann, 

 so ist es selbstverständlich, dass eine weitere Integrations- 

 Erniedrig'ung unmöglich ist. 



Also können wir das folgende wichtige Theorem aus- 

 sprechen 



Theorem, III. Findet man bei der Integration einer 

 beliebigen Systems partieller Differential-Glei- 

 chimgen 1. O. gleichzeitig mehrere Lösungen eines 

 Hülf-Sy stems , so erlauben die in dieser Abhandlung 

 und in meiner Inv arianten-Theorie der Berührungs- 

 Transformationen entioickelten Theorien den grösst- 

 möglichen Nutzen aus den gefundenen Lösungen zu 

 ziehen. 



Dieses Theorem ist doch nur als bewiesen zu betrachten, 

 wenn man die beiden im Anfange dieses Paragraphen auf- 

 gestellten Axiome admittirt. 



§6. 



Partielle Differ ential-Grleicliungen 1. 0., welche die 

 unibekannte Funktion enthalten. 



Um nun die vorangehenden Theorien auf Gleichungen, 

 welche die unbekannte Funktion explicite enthalten, auszu- 

 dehnen, brauchen wir nur die betreffenden Gleichungen wie 

 gewöhnlich auf die Form 



Pn Pn 



ZU bringen. Hierbei tritt unter Umständen die Vereinfachung 

 ein, dass die früher besprochene Quadratur wegfällt, indem 



