Sophus Lie. 363 



Satz 6. Sind N-^ . . . N^ Funktionen nullter Ordnung^ die 

 £ine Relation der Form 



2pdx==:2KdN+dU 



erfüllen, so ist U eine arbiträre Funktion der N und kann 

 daher gleich Null gesetzt werden. 



Sei iV^ . . . iYr . . . iVs H die durch N-^. .. N, bestimmte 

 homogene Gruppe, die nach Satz 3 entweder die Form 

 Xi . . . Xn Pi . . . Pm oder X^ . . . X„x Pi . . . Pn besitzt. 

 Wegen Satz 5 kann unsere .Gruppe nicht die letzte Form 

 haben. Also muss sie die erste Form besitzen. Dann aber 

 zeigt Satz 4, dass U gleich Null gesetzt werden kann. 



Theorem IV. Ist ein Involutions- System nullter 

 Ordnung 



iV^ = «1 . . . iVq = «d 



zur Integration vorgelegt, und kennt man unter den 

 Lösungen nullter Ordnung des Systems 



(23), (iViiV) = 0... {N^N) = 



eine so grosse Anzahl N^^i. , . N^, dass eine Relation 

 der Form 



2pdx^2KdN + dU 



und also auch eine Relation der einfacheren Form, 



2pdX'^2KdN 



stattfindet, so verlangt die Integration des vorge- 

 legten Involutions-Systems mir gewisse Differen- 

 tationen und Eliminationen, dagegen keine Qua- 

 dratur. 



Beweis. Nach Satz 2 sind Kf^^i . . .Kr die fehlenden 

 Lösungen des Systems (23) Um nun zweckmässige Ausdrücke 

 der K zu finden, wählen wir 2n—r Grössen w^ ... W2n-r, die 

 homogen von erster Ordnung und dabei von den N unab- 

 hängig sind, und führen darnach die N und u als unabhän- 



