188 Sophus Lie. 



hatte ich dann gleichzeitig eine vollständige Integrations- 

 theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen 



mit bekannten infinitesimalen Transformationen. Ich gab 

 ferner in mehreren Abhandlungen*) in diesem Archiv (1876, 

 77, 78) eine Darstellung von denjenigen Methoden, vermöge 

 deren ich in 1873 — 1874 alle continuirliche Gruppen von 

 Transformationen einer zweifach ausgedehnten Mannigfaltig- 

 keit bestimmt hatte. 



Hiermit war indess keineswegs mein in 1874 skizzirtcs 

 Programm, selbst auf gewöhnliche Differentialgleichungen 

 zwischen cc und y beschränkt, zur Ausführung gebracht. Nicht 

 allein hatte ich die angekündigte Classification noch nicht 

 durchgeführt. Es stand aber auch zurück nachzuweisen, 

 einerseits, wie man entscheidet, ob eine vorgelegte Differential- 

 gleichung eine continuirliche Gruppe gestattet, anderseits yj'iq 

 man diejenigen Differentialgleichungen in rationeller Weise 

 integiirt**), die zur Bestimmung von der betreffenden Gruppe 

 dienen. Der Hauptzweck dieser Abhandlung ist diese beiden 

 wichtigen Capiteln meiner Theorie eingehend zu entwickeln. 

 Gleichzeitig halte ich es für zweckmässig einige Theile 

 meiner Theorie, die ich allerdings früher im Wesentlichen 

 gegeben habe, auf neues und mehr ausführlich zu be- 

 handeln. 



Im ersten Abschnitte führe ich die von mir in 1874 

 angekündigte Classification von gewöhnlichen Differential- 

 gleichungen, die eine continuirliche Gruppe von Transforma- 

 tionen zwischen œ und y gestatten, vollständig durch. Ich 

 betrachte successiv alle derartige Gruppen, reducirt auf ca- 



*) Diese Abhandlungen sind theilweise (nicht aber vollständig) in Math. 



Ann. Bd. XVI in neuer Bearbeitung reproducirt worden. 

 **) Sieh die Abhandlungen der Gesellschait der Wissenschaften zu Chri- 

 stiania 1881. Sieh auch meine Begründung einer Invariantentheorie 

 der Berührungstransformationen. Math. Ann. Bd. VIII, 1874. 



